最小生成树算法超详细教程

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最小生成树的最著名的算法有两个, 一个是Prim算法, 另一个当然就是Kruskal算法, 接下来, 我将尽我所能的介绍这两个算法, 也算是对自己学习的一个回顾吧

老规矩, 模板题传送门

首先, 介绍我更喜欢的, 也是相对更容易敲代码的Kruskal算法

按照离散数学的定义

> 基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边,并保证这n-1条边不构成回路。
> 具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林,然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森
林中,并使森林中不产生回路,直至森林变成一棵树为止。

故我们可以提炼出算法的流程如下

1.将边升序排序
2.判断是否能插入此边,插入后做:
    1.inc(ans,路径长度)
    2.合并连通分支

1.对于排序, 可以借助于库函数sort

2.对于判断是否可以插入的步骤, 我们的想法是借助于并查集, 如果这条边的两个祖先相同, 那么插入这条边显然会构成环, 故跳过

3.算法结束的标志是加入的边的数目为n - 1

算法已经介绍清楚了, 那么下面我们就来考虑一下存储边的数据结构, 我们选择了如下所示的结构体数组

struct Edge {
    int u; //起点
    int v; //终点
    int w; //权值
} e[100010];

对于并查集的处理就简单的提一下

1. 初始化

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
}

2.寻找祖先的函数, 路径压缩算法

int find (int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

3.合并操作, 将两个属于不同集合的顶点合并到同一个集合, 即入赘操作

void union_(int x, int y) {
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    fa[fx] = fy;
}

感觉也没多少东西, 那就直接贴完整AC代码吧

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100 + 10;
int n, cnt, fa[MAXN], sum, ans;
void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
}
int find (int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}
void union_(int x, int y) {
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    fa[fx] = fy;
}
struct Edge {
    int u;
    int v;
    int w;
} e[100010];
bool cmp (Edge a, Edge b) {
    return a.w < b.w;
}
//这一题应该采用并查集来判断是否会构成一个环, 然后用一个结构体数组来存储边的信息
int main() {
    cin >> n;
    init();
    int h;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> h;
            if (j > i) {
                //存一半就可以了
                e[++cnt].u = i;
                e[cnt].v = j;
                e[cnt].w = h;
            }
        }
    }
    sort(e + 1, e + 1 + cnt, cmp);
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        int u = e[i].u;
        int v = e[i].v;
        if (find(u) != find(v)) {
            union_(u, v);
            sum++;
            ans += e[i].w;
            if (sum == n - 1) {
                break;
            }
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

二, Prime算法

Prim算法也是一个贪心算法, 它和Kruskal算法的区别在于Prim算法是每次从一个点出发选择当前点的不构成环的最小的边, 而Kruskal算法是从全局的角度, 从所有的边中选择不构成环的最小的边, 所以Prim算法相对而言复杂一些

很显然, 每次都要从当前的顶点选择最优的边, 那么这就是一个很耗时的操作, 于是我们可以对这一步进行堆优化(其实就是使用优先队列)

这个算法的数据结构相对复杂一些, 接下来我来介绍一下

bool vis[MAXN]; //用来判断这个顶点是否访问过
struct Edge {
    int u; //起点
    int v; //终点
    int w; //权值
    bool operator <(const struct Edge& n) const {
        return w > n.w;
    } //重载比较运算符, 用于后面的优先队列
};
vector <Edge> g[MAXN]; //向量数组, 用于存放每一个顶点所连接的边的信息
priority_queue <Edge> edge; //优先队列不解释

1.读取数据

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        int w;
        cin >> w;
        if (w == 0) continue;
        g[i].push_back(Edge{i, j, w});
    }
}

2.以1为起始点, 将其相连边入队

vis[1] = true;
for (int i = 0; i < g[1].size(); i++) {
    edge.push(g[1][i]);
}

3.执行Prim算法, 直到边数为n - 1为止

 while (cnt < n - 1){
    int w = edge.top().w;
    int v = edge.top().v;
    edge.pop();
    
    if (vis[v]) {
        //已经访问过了
        continue;
    }
    vis[v] = true;
    ans += w; //ans是结果
    cnt++; //cnt是边的计数器
    for (int i = 0; i < g[v].size(); i++) {
        if (!vis[g[v][i].v]) {
            edge.push(g[v][i]);
        }
    }
}

完整的代码就不贴了

好了, 今天就分享到这里

https://juejin.im/post/5e3642b25188252ca0763eb7

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