一个博弈游戏,据说智商130才看的懂

​博弈论是一门非常有意思的学问,之前小灰曾经分享过两个著名的博弈场景:囚徒困境智猪博弈

今天,我们来介绍一个更加烧脑的博弈游戏:硬币游戏

游戏规则

小灰和大黄都有若干块糖果。有一天大黄提议和小灰玩一个游戏。这是个什么游戏呢?规则很简单:

首先,他们各自拿出一枚硬币,并同时亮出

  • 如果同为正面,大黄给小灰3块糖果

  • 如果同为反面,大黄给小灰1块糖果

  • 如果是一正一反,小灰给大黄2块糖果

经过若干轮游戏,小灰的糖果都被大黄赢走了……

概率里的陷阱

为什么会发生这样的事情呢?我们可以好好探究一下这个问题。让我们试试看用一个表格表示小灰的收入:

↓ 小灰的选择 → 大黄的选择亮正面亮反面
亮正面3-2
亮反面-21

乍一看每种情况出现的概率都是

,因此这个游戏似乎是极其公平的?那么是因为小灰运气不好呢?不不不,这个游戏里,其实包含着一个隐蔽 的漏洞:

如果是随机的抛硬币,那么每种情况出现的概率的确是

,但是不要忘了,这个游戏的规则不是随机的抛硬币,我们可以主观选择自己亮出的硬币是正面还是反面,就像在玩“石头剪子布”一样。

我们假设大黄出正面的概率为p,小灰出正面的概率为

,那么我们可以得到下图:

左图表示大黄,右图表示小灰

可以看到,此时

表示大黄出正面的概率,

表示大黄出反面的概率,

表示小灰出正面的概率,而

表示小灰出反面的概率。

以此为基础,很容易计算出:

  • 两人同时出正面的概率是 pq , 小灰的收获是3
  • 两人同时出反面时的概率是(1-p)(1-q) , 小灰的收获是1
  • 小灰出正面,大黄出反面的概率是(1-p)q , 小灰的收获是-2
  • 小灰出反面,大黄出正面的概率是p(1-q) , 小灰的收获是-2

我们用一个字母

表示小灰的预期收获,那么

的值为:

(也就是把他们加在一起了)

简化之得:

下面的分析会比较烧脑,涉及到含参数不等式以及减函数的知识,一次看不明白的小伙伴可以多看几遍。

求解方程

大黄想要赢小灰,就要使小灰的收入

小于

,我们可以列出不等式:

的值代入,即:

大黄无法修改小灰的

值,但是他却能修改自己的

值,因此我们要求的就是

值的解集。把原式当做一个未知数为

的含参数不等式,先将参数项移至右面,把未知数项放在左面

合并同类项可得到:

对于一个含参数的不等式,我们要进行分类讨论:

  • 当参数>0时(两边同时除以参数,不等式符号不变)
  • 当参数<0时(两边同时除以参数,不等式符号改变)
  • 当参数=0时(原式有任意解)

    上面所说的参数,是指 8q-3 这一项

注:由于

在这里表示一个概率,因此

的取值范围一定只有

,也就是说,当

为任意解时,

也仅仅只对任意的

成立。

对于上面参数不等式的三种情况,让我们分别进行具体讨论:

情况A,当参数大于0,即

时:

(不等式符号不变)

当定义域为

时,有函数

对应的函数图像为

将其不断放大,直到

的定义域为

,发现函数图像的曲线是向下的:

也就是说,这是一个减函数,其定义域上的任何自变量

都有对应的

为了保证(在q的定义域内)不等式成立,p必须小于f(1),也就是

时,原式成立。

情况B,当参数小于0,即

时:

(不等式符号相反)

当定义域为

时,函数

为一个减函数,具体的函数图像可以看下图:

虽然它的曲线和刚才略有不同,不过仍然符合减函数的定义。

为了保证在(q的定义域内)不等式成立,p必须大于f(0),也就是

时,原式成立。

情况C,当参数等于0,即

时:

(任意解)

(仍然符合

我们把情况A、情况B、情况C当中p的取值范围求一个交集,最终得出:当大黄把亮正面的概率

控制在

时,小灰一定会输。

应用场景

这个游戏远远不止于此,其实它还能应用到生活中的很多场景里。我们以炒股为例子,把大黄想象成庄家,把亮正面想成做空,亮反面想成做多,那么在这个由庄家掌握的局面下,很显然投资者(也就是小灰)一定是会吃亏的。因此,请远离炒股,炒股有风险,投资需谨慎。

这个博弈论的问题就讲解到这里,谢谢阅读!

投稿作者:王乙堃

编辑整理:小灰

需要特别说的的是,王乙堃同学年仅12岁,在读小学六年级,能写出这样的文章真的很了不起,非常感谢他的投稿!

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