高等数学——微积分中的不定积分

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今天是高等数学专题的第8篇文章,今天的内容是不定积分。

我之前的高数老师曾经说过,高等数学就是大半本的微积分加上一些数列和极限的知识。而微积分当中,积分相关又占据了大半江山。微积分之所以重要并不是因为它的比重大、容量多,而是因为它常用。几乎所有理工科的课本上都有微积分的公式,原因也很简单,当年这些科学家在研究未知事物或者是进行计算的时候,大量使用了微积分作为工具。这也是我们必须学它的原因。

原函数

我一直都觉得微积分这个名字起得很好,微积分是微分和积分的合称。微分是通过宏观研究微观,而积分恰恰相反则是通过微观获取宏观。因此从某种意义上来说,我们可以将积分看成是微分的反面。

微分对应的是极限,在函数当中,我们通过让\Delta x趋近于0研究函数的变化情况。当\Delta x趋向于0时,我们获得的函数变化率就是函数的导数,这也是导数公式的由来:

\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

我们从微分的角度来看积分,也就是说我们来逆向思考这个过程。如果说我们获得的导数是f'(x),那么求导之前的函数f(x)会是什么呢?在这个问题当中,求导之前的函数称为原函数,我们写成F(x),如果F(x)是f(x)的原函数,那么它应该满足对于任意的x \in I,都有F'(x) = f(x)

比如说因为f(x) = x^2的导数是2x,所以x^2是2x的原函数。

函数和原函数的关系我们清楚,但是为了严谨,我们还需要思考一个问题,原函数一定存在吗

这个问题看起来很绕,其实很容易想通,如果函数连续,那么原函数一定存在。高数书上说这个是原函数存在定理,但是连一句话证明也没有,可想而知它基本上已经被当成是公理了。我们来简单分析一下,如函数f(x)连续,也就是说原函数的导数存在并且连续。我们知道连续不一定可导,但可导一定连续。现在导函数存在并且连续了,那么说明原函数一定连续。如果函数不存在怎么连续呢?所以当前函数f(x)连续,说明它的原函数F(x)一定存在。

不定积分

我们搞明白了原函数之后,就可以开始不定积分的内容了。其实不定积分没什么计算内容,我倒觉得更像是映射。将当前函数映射成原函数。

也就是说,我们通过当前函数f(x)去寻找一个原函数F(x),使得:F'(x) = f(x),我们把这个过程倒过来写,即:

F(x) = \int f(x)dx

这个式子其实就是求导的逆运算,完全没有技术含量,应该都能看明白。这个时候,我们来问一个问题,对于一个确定的函数f(x)而言,它的原函数是确定的吗?

比如我们刚刚那个例子f(x) = 2x,那么它的原函数只有F(x) = x^2吗?

答案是明显的,不是。我们随便就可以举出另一个原函数来:F(x) = x^2 + 3,同样,我们把后面的常数换成其他的值一样是合法的原函数。所以我们可以知道,原函数是无穷的,差别只在于最后跟的常数不同。也就是说原函数因为这个常数的存在是不确定的,这也是不定积分当中”不定“两个字的由来。

简单性质

根据不定积分的定义,我们可以推导出一些简单的性质。我们先来看第一个性质,也是最简单的性质:

\int k f(x)dx = k\int f(x)dx

这个证明非常简单,我们直接对原式求导即可:

[\int k f(x)dx]' = k\cdot f(x) = [k\int f(x)dx]'

同样简单的还有另一个性质:

\int [f(x)dx + g(x)dx] = \int f(x)dx + \int g(x)dx

证明方法和刚才一样,直接求导即可。

好了,以上就是不定积分的全部性质了。你可能会问为什么性质里面没有乘法和除法的性质?我也曾经好奇过这个问题,因为在我查过得所有资料当中都没有相关的公式。我自己也试着推导过,但是没有什么结果。这当然不是数学家们偷懒或者是算不出来,估计可能是太过复杂,所以不太实用吧。

基本积分表

最后,我们来看一下不定积分的基本积分表,方便我们计算的时候查询。

\begin{aligned}
\int kdx &= kx+C \\
\int x^{\mu}dx &= \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \\
\int \frac{dx}{x} &= \ln|x| + C \\
\int \frac{dx}{1+x^2} &= \arctan x + C\\
\int \frac{dx}{1-x^2} &= \arcsin x + C\\
\int \cos x dx &= \sin x + C\\
\int \sin x dx &= -\cos x + C\\
\int \frac{dx}{\cos^2x}&=\int \sec^2x dx = \tan x + C \\
\int \frac{dx}{\sin^2 x} &= \int \csc^2 x dx = -\cot x + C\\
\int \sec x \tan x dx &= \sec x + C\\
\int \csc x \cot x dx &= -\csc x + C\\
\int e^xdx &= e^x + C\\
\int a^x dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C
\end{aligned}

不定积分本身的内容就是这么多,理解起来并不困难。不过在实际解决问题的过程当中,还存在一些解题的技巧,由于篇幅问题,我们放到下一篇文章当中和大家一起分享。

今天的文章就是这些,如果觉得有所收获,请顺手点个关注或者转发吧,你们的举手之劳对我来说很重要。

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