高等数学——手撕牛顿莱布尼茨公式

本文始发于个人公众号:TechFlow,原创不易,求个关注

今天是高等数学专题的第13篇文章,我们来看看定积分究竟应该怎么计算。

定积分的实际意义

通过之前的文章,我们基本上熟悉了定积分这个概念和它的一些简单性质,今天终于到了正题,我们要试着来算一算这个积分了。

我们先来回忆一下对定积分的直观感受,它可以代表一段曲形面积,比如:

如果我们把上图当中的f(x)看成是速度函数x轴看成是时间,那么f(x)就表示时刻x时物体运动的速度。那么我们把所有瞬时移动的距离累加,就得到了物体在某个时间段内的位移矢量,而这个位移长度恰好就是我们曲形的面积。我们把定积分和物理上的位移进行挂钩之后,很容易得出一个结论,在物理学上,一个物体发生的位移和时间也是一一映射的关系,所以这也是一个函数。

有了这个结论之后,我们就可以做一个假设,假设一个函数s(t)满足:

s(t) = \int_a^t f(t)dt

其中的a是一个定值,我们可以认为是位移发生的起始时刻,s(t)就是物体位移和时间的函数。所以a到b这段时间内发生的位移就等于s(b) - s(a) = \int_a^b f(t)dt.

计算推导

当我们把定积分和物理位移挂钩的时候,我们距离求解它已经很接近了。

根据物理上的定义,物体的运动速度其实就等于位置矢量随时间的变化率,虽然不够严谨,但其实这是一个微分量,可以近似看成是位移函数的导数。当然这个只是直观的认识,我们还需要用严谨的数学语言来表达。

我们假设f(x)函数在区间[a, b]上连续,并且\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b),我们试着证明\Phi'(x) = f(x)

我们取一个绝对值足够小的\Delta x,使得x + \Delta x \in (a, b),那么:

\Phi(x + \Delta x) = \int_a^{x+\Delta x}f(t)dt

我们用它减去\Phi(x),得到:

\begin{aligned}
\Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) \\
&= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\\
&= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt
\end{aligned}

根据我们积分中值定理,可以得到,存在\xi \in (x, x+\Delta x),使得:

\begin{aligned}
\Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\
\frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi)
\end{aligned}

由于f(x)在[a, b]上连续,并且\Delta x\to 0,所以\xi \to x,因此\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x),进一步就证明了\Phi(x)的导数存在,并且:

\Phi'(x) = f(x)

到这里已经距离我们的目标非常接近了,只差最后一步。这最重要的一步有两个数学大牛对它声明主权,一个是牛顿,另一个是莱布尼茨。这也是数学界一桩非常出名的公案,这背后的故事背景非常复杂,属于典型的公说公有理婆说婆有理的桥段。有一部著名的纪录片叫做《一部微积分的恩怨史》讲的就是这一段故事,感兴趣的同学可以去B站围观一下。

为了避免引战,很多课本上都把它叫做牛顿-莱布尼茨公式,用两个人的名字共同命名。

牛顿-莱布尼茨公式

根据原函数的定义,从上面的结论当中我们可以得到\Phi(x)是函数f(x)在[a, b]上的一个原函数。我们假设F(x)也是f(x)的一个原函数,所以我们可以知道F(x) - \Phi(x) = C,这里的C是一个常数。

令x = a,那么可以得到F(a) - \Phi(a) = C,根据\Phi(x)的定义,我们可以知道\Phi(a) = 0,所以F(a) = C,并且\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt,代入可以得到:

\begin{aligned}
F(x) - \Phi(x) &= C\\
F(x) - \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\
\int_a^x f(t)dt &= F(x) - F(a)
\end{aligned}

我们把b代入,可以得到\int_a^x f(x)dx = F(b) - F(a),这个式子就是牛顿莱布尼茨公式。

我们回顾一下上面的推导过程,难度并不大,但是几个代换处理非常巧妙,不然的话即使我们可以得到结论,也并不严谨。

总结

有了定积分的计算公式之后,很多我们之前无法解决的问题就都可以解决了,由此奠定了整个微积分的基础,不仅推动了数学的发展,也带动了理工科几乎所有的学科。在各大理工学科之中几乎都有用到微积分进行一些复杂的计算,即使是看起来和数学不那么相关的计算机领域也不例外,这也是大学里为什么给所有理工科的学生开设了这门课的原因。

但遗憾的是,在我们学习的时候往往很难预见它的重要性,然而当我们预见这一点的时候,往往已经是很多年之后,没有那样的环境和时间给我们去好好学习了。

今天的文章就是这些,如果觉得有所收获,请顺手点个关注或者转发吧,你们的举手之劳对我来说很重要。

https://juejin.im/post/5ea2ea00e51d4546e716f1b6

「点点赞赏,手留余香」

    还没有人赞赏,快来当第一个赞赏的人吧!
0 条回复 A 作者 M 管理员
    所有的伟大,都源于一个勇敢的开始!
欢迎您,新朋友,感谢参与互动!欢迎您 {{author}},您在本站有{{commentsCount}}条评论